벡터 공간에서 역원 기호는 상수곱처럼 작용한다.
∀ V , F ( vsp ( V , F ) → ∀ x ∈ V ( ( − 1 ) x = − x ) ∀ x ∈ V , t ∈ F ( ( − t ) x = − ( t x ) = t ( − x ) ) ) {\displaystyle \forall V,F\left({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow {\begin{aligned}\forall x\in V&((-1)x=-x)\\\forall x\in V,t\in F&((-t)x=-(tx)=t(-x))\end{aligned}}\right)}
벡터 공간의 정의로부터 1배, 분배 법칙을 적용한 뒤 0을 곱하면 항등원이다.
x + ( − 1 ) x = 1 x + ( − 1 ) x = ( 1 + ( − 1 ) ) x = 0 x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x+(-1)x\\=&1x+(-1)x\\=&(1+(-1))x\\=&0x\\=&0\end{aligned}}}
따라서 ( − 1 ) x {\displaystyle (-1)x} 는 x {\displaystyle x} 의 역원이다: ( − 1 ) x = − x {\displaystyle (-1)x=-x}
상수곱의 결합 법칙을 적용한 뒤 -1을 곱하면 역원이다.
( − t ) x = ( ( − 1 ) ⋅ t ) x = ( − 1 ) ⋅ ( t x ) = − ( t x ) {\displaystyle (-t)x=((-1)\cdot t)x=(-1)\cdot (tx)=-(tx)}
위 식과 마찬가지로 상수곱의 결합 법칙을 적용한 뒤 -1을 곱하면 역원이다.
( − t ) x = ( t ⋅ ( − 1 ) ) x = t ( ( − 1 ) ⋅ x ) t ( − x ) {\displaystyle (-t)x=(t\cdot (-1))x=t((-1)\cdot x)t(-x)}
는 
의 역원이다: 
