벡터 공간

벡터 공간은 덧셈과 상수배가 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

정의

체 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle F} , 집합 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle V} 와 덧셈 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle V+V\rightarrow V} , 상수배 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle F\cdot V\rightarrow V} 에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle V} 를 $F$-벡터 공간으로 정의한다.

덧셈의 교환 법칙

더해지는 두 벡터의 자리를 바꾸어도 그 값은 같다.

$\forall x,y\in V(x+y=y+x)$

덧셈의 결합 법칙

덧셈의 순서를 바꾸어도 그 값은 같다.

$\forall x,y,z\in V((x+y)+z=x+(y+z))$

항등원의 존재

벡터 공간에는 항등원이 존재한다.

$\exists x\in V(\forall y\in V(y+x=y))$

역원의 존재

벡터 공간의 모든 원소에는 역원이 존재한다.

• $0$: V의 항등원

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x \in V(\exist y \in V(x+y=0))}

1배는 자기자신

임의의 벡터에 1을 상수배한 것은 자기 자신과 같다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x \in V(1 x=x)}

상수배의 결합 법칙

상수배를 두 번 하는 것은 두 수의 곱만큼 상수배하는 것과 같다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x \in V,a,b\in F (a(bx)=(ab)x)}

상수의 분배 법칙

상수의 합만큼 상수배한 것은 각각의 상수만큼 상수배한 뒤 더한 것과 같다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x \in V, a,b\in F((a+b)x=ax+bx)}

벡터의 분배 법칙

벡터의 합을 상수배한 것은 각각 상수배한 것을 더한 것과 같다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \forall x,y \in V , a\in F(a(x+y)=ax+ay)}

예

아래 집합들은 모두 벡터 공간이다.

• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{\mathbf{0}\}} : 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},a\mathbf{0}=\mathbf{0}}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \R^n}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle F^n}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{(a,b,0)| a,b\in F\}}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle M_{m\times n}(F):=\{(a_{ij})|a_{ij}\in F\}}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \Delta_{n\times n}(F):=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} \\ & \ddots \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix} | a_{ij}\in F \right\}}
• 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{F}(S,F):=\{f:S\rightarrow F\}}
• 미분가능함수, n급 함수, ∞급 함수
• 다항식
• n차 이하 다항식
• 수열 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{(a_n)|a_n\in F,n=1,2,3,\dots\}}

하위 문서

• 벡터 공간/0을 곱하면 0이다
• 벡터 공간/Cancellation law
• 벡터 공간/역원
• 벡터 공간/역원과 상수곱
• 벡터 공간/역원은 유일하다
• 벡터 공간/항등원
• 벡터 공간/항등원은 유일하다