벡터 공간/역원과 상수곱

벡터 공간에서 역원 기호는 상수곱처럼 작용한다.

• vsp(V, F): V가 F-벡터 공간

$\forall V,F\left({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow {\begin{aligned}\forall x\in V&((-1)x=-x)\\\forall x\in V,t\in F&((-t)x=-(tx)=t(-x))\end{aligned}}\right)$

증명

-1을 곱하면 역원

벡터 공간의 정의로부터 1배, 분배 법칙을 적용한 뒤 0을 곱하면 항등원이다.

${\begin{aligned}&x+(-1)x\\=&1x+(-1)x\\=&(1+(-1))x\\=&0x\\=&0\end{aligned}}$

따라서 $(-1)x$는 $x$의 역원이다: $(-1)x=-x$

역원의 결합 법칙

상수곱의 결합 법칙을 적용한 뒤 -1을 곱하면 역원이다.

$(-t)x=((-1)\cdot t)x=(-1)\cdot (tx)=-(tx)$

위 식과 마찬가지로 상수곱의 결합 법칙을 적용한 뒤 -1을 곱하면 역원이다.

$(-t)x=(t\cdot (-1))x=t((-1)\cdot x)t(-x)$