부분 공간

어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.

• $F$: 임의의 체
• $V$: 임의의 $F$-벡터 공간
• $W$: 임의의 집합
• vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
• $W\leq V$: W가 V의 부분 공간

$W\leq V{\overset {def}{\Longleftrightarrow }}{\text{vsp}}(W,F)\wedge W\subset V$

판별법

어떤 공집합이 아닌 부분 집합이 부분 공간임을 판정하기 위해서는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다.

• $\emptyset \neq W\subset V$: 임의의 집합

$W\leq V\Leftrightarrow {\begin{aligned}\forall x,y\in W(x+y\in W)\\\forall x\in W,a\in F(ax\in W)\end{aligned}}$

오른쪽으로의 증명

가정: $W\leq V$

부분 공간의 정의에 의해 $W$는 $F$-벡터 공간이고, 벡터 공간의 정의에 의해 $W$는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. 가정 끝.

왼쪽으로의 증명

가정: $W$가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.

$V$가 $F$-벡터 공간이므로, $V$의 모든 원소에 대해 덧셈의 교환 및 결합 법칙, 상수배의 결합 법칙, 두 가지 분배 법칙이 성립하며 1배는 자기 자신이다. 이제 항등원과 역원이 $W$의 원소임을 보이면 충분하다.

$W\neq \emptyset \rightarrow \exists x\in W$

존재 예화: $x\in W$

어떤 벡터에 0을 곱하면 0이고 가정에 의해 $W$는 상수배에 대해 닫혀있다.

$0=0x\in W$

$\therefore 0\in W$. 존재 예화 끝.

따라서 $W$가 항등원을 원소로 갖는다.

가정: $x\in W$ 어떤 벡터에 -1을 곱하면 역원이고 가정에 의해 $W$는 상수배에 대해 닫혀있다.

$-x=(-1)x\in W$

$\therefore -x\in W$. 가정 끝.

$\therefore \forall x\in W(-x\in W)$; $W$의 임의의 원소는 그 역원 또한 $W$의 원소이다. 항등원과 역원이 $W$의 원소임을 보였으므로 $W$는 $F$-벡터 공간이다. $W\leq V$. 가정 끝.