"부분 공간"의 두 판 사이의 차이
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* <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합 | * <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합 | ||
<math> | <math>W\le V\Leftrightarrow \begin{align} | ||
\forall x,y\in W(x+y\in W)\\ | \forall x,y\in W(x+y\in W)\\ | ||
\forall x\in W,a\in F(ax \in W) | \forall x\in W,a\in F(ax \in W) | ||
\end{align} | \end{align}</math> | ||
=== 오른쪽으로의 증명 === | === 오른쪽으로의 증명 === | ||
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=== 왼쪽으로의 증명 === | === 왼쪽으로의 증명 === | ||
<math> | '''가정''': <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. | ||
이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다. | <math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신|1배는 자기 자신]]이다. 이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다. | ||
<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math> | <math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math> | ||
'''존재 예화''': <math>x \in W</math> | |||
어떤 벡터에 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다|0을 곱하면 0이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다. | |||
<math>0=0x\in W</math> | |||
<math>\therefore 0\in W</math>. '''존재 예화 끝'''. | |||
따라서 <math>W</math>가 항등원을 원소로 갖는다. | |||
'''가정''': <math>x\in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/역원과 상수곱|-1을 곱하면 역원이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다. | |||
<math>-x=(-1)x\in W</math> | |||
<math>\therefore -x\in W</math>. '''가정 끝'''. | |||
<math>\therefore \forall x\in W(-x\in W)</math>; <math>W</math>의 임의의 원소는 그 역원 또한 <math>W</math>의 원소이다. 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보였으므로 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이다. <math>W\le V</math>. '''가정 끝'''. | |||
2022년 3월 12일 (토) 17:16 기준 최신판
어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.
- : 임의의 체
- : 임의의 -벡터 공간
- : 임의의 집합
- vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
- : W가 V의 부분 공간
판별법[편집 | 원본 편집]
어떤 공집합이 아닌 부분 집합이 부분 공간임을 판정하기 위해서는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다.
- : 임의의 집합
오른쪽으로의 증명[편집 | 원본 편집]
가정:
부분 공간의 정의에 의해 는 -벡터 공간이고, 벡터 공간의 정의에 의해 는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. 가정 끝.
왼쪽으로의 증명[편집 | 원본 편집]
가정: 가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.
가 -벡터 공간이므로, 의 모든 원소에 대해 덧셈의 교환 및 결합 법칙, 상수배의 결합 법칙, 두 가지 분배 법칙이 성립하며 1배는 자기 자신이다. 이제 항등원과 역원이 의 원소임을 보이면 충분하다.
존재 예화:
어떤 벡터에 0을 곱하면 0이고 가정에 의해 는 상수배에 대해 닫혀있다.
. 존재 예화 끝.
따라서 가 항등원을 원소로 갖는다.
가정: 어떤 벡터에 -1을 곱하면 역원이고 가정에 의해 는 상수배에 대해 닫혀있다.
. 가정 끝.
; 의 임의의 원소는 그 역원 또한 의 원소이다. 항등원과 역원이 의 원소임을 보였으므로 는 -벡터 공간이다. . 가정 끝.
