임의의 벡터를 0배 하거나, 항등원을 임의의 상수배 하면 항등원이 된다.
∀ V , F ( vsp ( V , F ) → ∀ x ∈ V ( 0 x = 0 ) ∀ t ∈ F ( t 0 = 0 ) ) {\displaystyle \forall V,F\left({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow {\begin{aligned}\forall x\in V(0x=0)\\\forall t\in F(t0=0)\end{aligned}}\right)}
분배 법칙을 적용하면 다음과 같다.
0 x + 0 x = ( 0 + 0 ) x = 0 x {\displaystyle 0x+0x=(0+0)x=0x}
항등원의 정의에 의해 0 x {\displaystyle 0x} 는 항등원이다. 또, 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
0 x = 0 {\displaystyle 0x=0}
분배 법칙과 항등원의 정의를 적용하면 다음과 같다.
t 0 + t 0 = t ( 0 + 0 ) = t 0 {\displaystyle t0+t0=t(0+0)=t0}
항등원의 정의에 의해 t 0 {\displaystyle t0} 은 항등원이고 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
t 0 = 0 {\displaystyle t0=0}
는 항등원이다. 또, 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
은 항등원이고 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
