해석개론/실수의 성질과 수열의 극한/실수의 연산과 순서 - 편집 역사

Joongwon: /* 순서체 */

2022-07-14T10:05:35Z

순서체

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 * '''(순1)''' <math>\forall a,b\in P \Rightarrow a+b,ab\in P</math>
+: <math>P</math>는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다. 양수를 더하거나 곱하면 다시 양수가 됨을 생각하면 편하다.
 * '''(순2)''' <math>F=P\cup \{0\} \cup -P</math>
-* '''(순3)''' <math>P, \{0\}, -P</math>는 모두 서로소.  간단히 말해 체의 모든 원소가 양수, 0, 음수 중 하나에 속한다는 것이다.
+* '''(순3)''' <math>P, \{0\}, -P</math>는 모두 서로소.
 양수 집합이 존재하면 뺄셈의 결과가 양수, 0, 음수 중 어디에 속하는지 확인하여 대소 관계를 판별할 수 있다. 이는 정확하게 대소의 정의이다.
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 \end{array}</math>
 * '''명제 1.1.2(나)''' <math>a\le b,b\le c \Rightarrow a\le c</math>

Joongwon: /* 체 */ 리스트 형식 수정

2022-07-14T09:29:54Z

체: 리스트 형식 수정

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	* '''(체1)''' <math>\forall a,b,c\in F:\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>		* '''(체1)''' <math>\forall a,b,c\in F:\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>
	* '''(체4)''' <math>\forall a,b\in F: a+b=b+a</math> 덧셈의 결합법칙과 교환법칙. 이 둘이 있어야 2, 3번이 깔끔하게 나와서 순서를 좀 바꿨다. (체1)과 (체4)를 조합하면 덧셈의 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 앞으로 순서를 바꾸는 과정이 명백하면 그 과정은 생략한다.		* '''(체4)''' <math>\forall a,b\in F: a+b=b+a</math>
	* '''(체2)''' <math>\exists e\in F \forall a\in F: a+e=a</math> 더해도 아무런 효과가 없는 녀석이 체에 존재한다. 특히 그런 녀석이 유일하다는 것을 보일 수 있다. 위 성질을 만족하는 녀석을 <math>e,e'</math>로 두 마리 찾았다고 가정하자.<math display="block">e=e+e'=e'</math>두 마리를 찾으면 둘은 항상 같은 놈이다. 즉, 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하다. 그런 녀석을 '''덧셈의 항등원'''이라고 부르며, 앞으로 <math>0</math>으로 표기한다. 눈치가 빠르면 알겠지만 이는 실수 0에 대응된다.		:덧셈의 결합법칙과 교환법칙. 이 둘이 있어야 2, 3번이 깔끔하게 나와서 순서를 좀 바꿨다. (체1)과 (체4)를 조합하면 덧셈의 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 앞으로 순서를 바꾸는 과정이 명백하면 그 과정은 생략한다.
	* '''(체3)''' <math>\forall a\in F \exists x \in F : a+x=0</math> 체의 모든 원소에게는 더하면 0이 되어버리는 라이벌이 존재한다. 마찬가지로 그런 녀석도 유일하다. 위 성질을 만족하는 녀석을 <math>x, x'</math>로 두 마리 찾았다고 가정하자.<math display="block">x=x+0=x+(a+x')=(x+a)+x'=0+x'=x'</math>따라서 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하고, 그런 녀석을 '''덧셈의 역원'''이라고 부르며 앞으로 <math>-a</math>로 표기한다. 또 <math>a+(-b)</math>는 간단하게 <math>a-b</math>로 나타낸다. 뺄셈은 뒤의 원소의 역원을 더하는 연산인 셈이다. 실수에서 덧셈의 역원도 마이너스 부호를 붙여 찾을 수 있다.		* '''(체2)''' <math>\exists e\in F \forall a\in F: a+e=a</math>
			: 더해도 아무런 효과가 없는 녀석이 체에 존재한다. 특히 그런 녀석이 유일하다는 것을 보일 수 있다. 위 성질을 만족하는 녀석을 <math>e,e'</math>로 두 마리 찾았다고 가정하자.<math display="block">e=e+e'=e'</math>두 마리를 찾으면 둘은 항상 같은 놈이다. 즉, 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하다. 그런 녀석을 '''덧셈의 항등원'''이라고 부르며, 앞으로 <math>0</math>으로 표기한다. 눈치가 빠르면 알겠지만 이는 실수 0에 대응된다.
			* '''(체3)''' <math>\forall a\in F \exists x \in F : a+x=0</math>
			: 체의 모든 원소에게는 더하면 0이 되어버리는 라이벌이 존재한다. 마찬가지로 그런 녀석도 유일하다. 위 성질을 만족하는 녀석을 <math>x, x'</math>로 두 마리 찾았다고 가정하자.<math display="block">x=x+0=x+(a+x')=(x+a)+x'=0+x'=x'</math>따라서 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하고, 그런 녀석을 '''덧셈의 역원'''이라고 부르며 앞으로 <math>-a</math>로 표기한다. 또 <math>a+(-b)</math>는 간단하게 <math>a-b</math>로 나타낸다. 뺄셈은 뒤의 원소의 역원을 더하는 연산인 셈이다. 실수에서 덧셈의 역원도 마이너스 부호를 붙여 찾을 수 있다.
	* '''(체5)''' <math>\forall a,b,c\in F:a(bc)=(ab)c</math>		* '''(체5)''' <math>\forall a,b,c\in F:a(bc)=(ab)c</math>
	* '''(체8)''' <math>\forall a,b\in F ab=ba</math> 곱셈의 결합법칙과 교환법칙. 덧셈처럼 곱셈도 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 그 과정은 명백한 경우 생략한다.		* '''(체8)''' <math>\forall a,b\in F ab=ba</math>
	* '''(체6)''' <math>\exists e\in F: e\ne 0,(\forall a \in F : ae=a)</math> 곱셈에도 덧셈처럼 항등원이 존재한다. 비슷한 논리로 이 녀석도 유일하다는 것을 보일 수 있다. 그런 녀석을 '''곱셈의 항등원'''이라고 부르며, 앞으로 <math>1</math>로 표기한다. 역시 실수 1에 대응된다. 한편 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 다르다는 것이 공리로써 보장되는 것도 주목할만한 점이다.		: 곱셈의 결합법칙과 교환법칙. 덧셈처럼 곱셈도 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 그 과정은 명백한 경우 생략한다.
	* '''(체7)''' <math>\forall a\in F \setminus \left\{0\right\}\exists x\in F:ax=1</math> 체의 원소에게는 곱해서 1이 되어버리는 다른 종류의 라이벌도 존재한다. 다만 0은 라이벌이 없다. 천하무적이라고 볼 수 있다. (체3)에서와 비슷하게 그런 라이벌이 유일함을 보일 수 있다. 그런 녀석을 '''곱셈의 역원'''이라고 부르며 앞으로 <math>a^{-1}</math>로 표기한다. 나눗셈이란 바로 이 역원을 곱하는 연산이라고 볼 수 있다. 실수에서는 역원을 <math>a^{-1}=1/a</math>로 찾을 수 있다. 0의 역원이 없다는 말에는 0으로 나눌 수 없다는 심오한 뜻이 담겨있다. 사칙연산을 정의할 때에 불가피한 절대적 성질이라는 것이다.		* '''(체6)''' <math>\exists e\in F: e\ne 0,(\forall a \in F : ae=a)</math>
	* '''(체9)''' <math>\forall a,b,c \in F : a(b+c)=ab+ac</math> 분배법칙. 별로 할 얘기는 없다.		: 곱셈에도 덧셈처럼 항등원이 존재한다. 비슷한 논리로 이 녀석도 유일하다는 것을 보일 수 있다. 그런 녀석을 '''곱셈의 항등원'''이라고 부르며, 앞으로 <math>1</math>로 표기한다. 역시 실수 1에 대응된다. 한편 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 다르다는 것이 공리로써 보장되는 것도 주목할만한 점이다.
			* '''(체7)''' <math>\forall a\in F \setminus \left\{0\right\}\exists x\in F:ax=1</math>
			: 체의 원소에게는 곱해서 1이 되어버리는 다른 종류의 라이벌도 존재한다. 다만 0은 라이벌이 없다. 천하무적이라고 볼 수 있다. (체3)에서와 비슷하게 그런 라이벌이 유일함을 보일 수 있다. 그런 녀석을 '''곱셈의 역원'''이라고 부르며 앞으로 <math>a^{-1}</math>로 표기한다. 나눗셈이란 바로 이 역원을 곱하는 연산이라고 볼 수 있다. 실수에서는 역원을 <math>a^{-1}=1/a</math>로 찾을 수 있다. 0의 역원이 없다는 말에는 0으로 나눌 수 없다는 심오한 뜻이 담겨있다. 사칙연산을 정의할 때에 불가피한 절대적 성질이라는 것이다.
			* '''(체9)''' <math>\forall a,b,c \in F : a(b+c)=ab+ac</math>
			: 분배법칙. 별로 할 얘기는 없다.

	=== 예시 ===		=== 예시 ===
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	아래는 체에서 성립하는 몇가지 성질들이다. 임의의 <math>a, b, c\in F</math>에 대해		아래는 체에서 성립하는 몇가지 성질들이다. 임의의 <math>a, b, c\in F</math>에 대해

	* '''명제 1.1.1.(가)''' <math>-(-a)=a, a\ne 0\Rightarrow (a^{-1})^{-1}=a</math> 역원의 역원은 자기자신이다. <math>b</math>가 <math>a</math>의 역원이라는 것의 정의는 <math>a+b=0</math>이다. 이 식에서 바로 <math>a</math>가 <math>b</math>의 역원임을 알 수 있다.		* '''명제 1.1.1.(가)''' <math>-(-a)=a, a\ne 0\Rightarrow (a^{-1})^{-1}=a</math>
	* '''명제 1.1.1.(나)''' <math>(a+b=a+c\Rightarrow b=c), (a\ne 0,ab=ac \Rightarrow b=c)</math> 등식의 양변에 같은 수가 더해지거나 곱해진 경우 지울 수 있다. <math>-a</math>을 더하거나 <math>a^{-1}</math>을 곱해보면 쉽게 확인할 수 있다.		: 역원의 역원은 자기자신이다. <math>b</math>가 <math>a</math>의 역원이라는 것의 정의는 <math>a+b=0</math>이다. 이 식에서 바로 <math>a</math>가 <math>b</math>의 역원임을 알 수 있다.
	* '''명제 1.1.1.(다)''' <math>ab=0\Leftrightarrow a=0\ \mathrm{or}\ b=0</math> 곱해서 0이면 둘 중 하나는 0이다. 반대로 어떤 수에 0을 곱하면 0이 된다. 먼저 왼쪽으로 증명해보자. <math>a\cdot 0 + a\cdot 0 = a(0+0)=a\cdot 0=a\cdot 0 + 0</math>이므로, 1.1.1.(나)를 적용하면 <math>a\cdot 0 =0</math>이다. 오른쪽으로의 증명은 귀류법을 사용한다. <math>ab=0,a\ne 0, b\ne 0</math>이라고 가정하면 <math>0=0\cdot b^{-1}a^{-1}=abb^{-1}a^{-1}=1</math>로 모순이다.		* '''명제 1.1.1.(나)''' <math>(a+b=a+c\Rightarrow b=c), (a\ne 0,ab=ac \Rightarrow b=c)</math>
	* '''명제 1.1.1.(라)''' <math>(-a)b=-(ab)=a(-b)</math> 마이너스 부호를 곱셈처럼 쓸 수 있음을 알려준다. <math>ab</math>를 더해 분배법칙을 적용해보면 모두 0이 되어 <math>ab</math>의 역원임을 확인할 수 있다. 어떤 원소에 대한 곱셈의 역원은 유일하므로 위 등식의 세 변은 모두 같음을 확인할 수 있다.		: 등식의 양변에 같은 수가 더해지거나 곱해진 경우 지울 수 있다. <math>-a</math>을 더하거나 <math>a^{-1}</math>을 곱해보면 쉽게 확인할 수 있다.
			* '''명제 1.1.1.(다)''' <math>ab=0\Leftrightarrow a=0\ \mathrm{or}\ b=0</math>
			: 곱해서 0이면 둘 중 하나는 0이다. 반대로 어떤 수에 0을 곱하면 0이 된다. 먼저 왼쪽으로 증명해보자. <math>a\cdot 0 + a\cdot 0 = a(0+0)=a\cdot 0=a\cdot 0 + 0</math>이므로, 1.1.1.(나)를 적용하면 <math>a\cdot 0 =0</math>이다. 오른쪽으로의 증명은 귀류법을 사용한다. <math>ab=0,a\ne 0, b\ne 0</math>이라고 가정하면 <math>0=0\cdot b^{-1}a^{-1}=abb^{-1}a^{-1}=1</math>로 모순이다.
			* '''명제 1.1.1.(라)''' <math>(-a)b=-(ab)=a(-b)</math>
			: 마이너스 부호를 곱셈처럼 쓸 수 있음을 알려준다. <math>ab</math>를 더해 분배법칙을 적용해보면 모두 0이 되어 <math>ab</math>의 역원임을 확인할 수 있다. 어떤 원소에 대한 곱셈의 역원은 유일하므로 위 등식의 세 변은 모두 같음을 확인할 수 있다.

	== 순서체 ==		== 순서체 ==

2022년 7월 14일 (목) 09:21에 Joongwon님의 편집

2022-07-14T09:21:21Z

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 체는 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음의 9가지 성질을 만족한다. (체1) ~ (체4)는 덧셈에 관한 성질이고, (체5) ~ (체8)은 곱셈에 관한 성질이다. (체9)는 덧셈과 곱셈을 연결하는 성질이다.
-집합 <math>F</math>와 덧셈 (<math>+:F\times F\rightarrow F</math>) 및 곱셈(<math>\cdot:F\times F\rightarrow F</math>)이 체라면, 다음 성질들을 만족한다.
+집합 <math>F</math>와 덧셈 (<math>+:F\times F\rightarrow F</math>) 및 곱셈(<math>\cdot:F\times F\rightarrow F</math>)이 '''체'''라면, 다음 성질들을 만족한다. (단 곱셈 <math>a\cdot b</math>는 <math>ab</math>로 표기하기도 한다.)
-'''(체1)''' <math>\forall a,b,c\in F:\quad \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>
+* '''(체1)''' <math>\forall a,b,c\in F:\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>

Joongwon: 새 문서: '''1. 실수의 성질과 수열의 극한''' '''1.1. 실수의 연산과 순서''' 함수를 알아보기에 앞서, 실수가 무엇인지를 알아볼 것이다. 극한에 대한 여러 성질들이 실수의 기본 성질로부터 나오기 때문이다. 실수에 대해 생각할 수 있는 가장 기본적인 성질은 사칙연산과 대소 비교가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 실수의 사칙연산을 추상화한 구조인 '체'와 대소 비교가...

2022-07-14T07:48:01Z

새 문서: '''1. 실수의 성질과 수열의 극한''' '''1.1. 실수의 연산과 순서''' 함수를 알아보기에 앞서, 실수가 무엇인지를 알아볼 것이다. 극한에 대한 여러 성질들이 실수의 기본 성질로부터 나오기 때문이다. 실수에 대해 생각할 수 있는 가장 기본적인 성질은 사칙연산과 대소 비교가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 실수의 사칙연산을 추상화한 구조인 '체'와 대소 비교가...

새 문서

'''1. 실수의 성질과 수열의 극한'''

'''1.1. 실수의 연산과 순서'''

함수를 알아보기에 앞서, 실수가 무엇인지를 알아볼 것이다. 극한에 대한 여러 성질들이 실수의 기본 성질로부터 나오기 때문이다. 실수에 대해 생각할 수 있는 가장 기본적인 성질은 사칙연산과 대소 비교가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 실수의 사칙연산을 추상화한 구조인 '체'와 대소 비교가 가능하다는 점, 즉 순서가 있다는 점을 추상화한 '순서체'에 대해 알아보자.

==체==
체는 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음의 9가지 성질을 만족한다. (체1) ~ (체4)는 덧셈에 관한 성질이고, (체5) ~ (체8)은 곱셈에 관한 성질이다. (체9)는 덧셈과 곱셈을 연결하는 성질이다.

집합 <math>F</math>와 덧셈 (<math>+:F\times F\rightarrow F</math>) 및 곱셈(<math>\cdot:F\times F\rightarrow F</math>)이 체라면, 다음 성질들을 만족한다.

'''(체1)''' <math>\forall a,b,c\in F:\quad \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>