부분 공간 - 편집 역사

2022년 3월 12일 (토) 08:16에 Joongwon님의 편집

2022-03-12T08:16:31Z

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	=== 왼쪽으로의 증명 ===		=== 왼쪽으로의 증명 ===

	* 가정: <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.		'''가정''': <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.

	<math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙\|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙\|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙\|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙\|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙\|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신\|1배는 자기 자신]]이다. 이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다.		<math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙\|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙\|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙\|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙\|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙\|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신\|1배는 자기 자신]]이다. 이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다.

	<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math>		<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math>
	** 존재 예화: <math>x \in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다\|0을 곱하면 0이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.
			'''존재 예화''': <math>x \in W</math>

			어떤 벡터에 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다\|0을 곱하면 0이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

	<math>0=0x\in W</math>		<math>0=0x\in W</math>

	<math>\therefore 0\in W</math>. 존재 예화 끝.		<math>\therefore 0\in W</math>. '''존재 예화 끝'''.
	* 따라서 <math>W</math>가 항등원을 원소로 갖는다.
	** 가정: <math>x\in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/역원과 상수곱\|-1을 곱하면 역원이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.		따라서 <math>W</math>가 항등원을 원소로 갖는다.

			'''가정''': <math>x\in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/역원과 상수곱\|-1을 곱하면 역원이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

	<math>-x=(-1)x\in W</math>		<math>-x=(-1)x\in W</math>

	<math>\therefore -x\in W</math>. 가정 끝.		<math>\therefore -x\in W</math>. '''가정 끝'''.
	* <math>\therefore \forall x\in W(-x\in W)</math>; <math>W</math>의 임의의 원소는 그 역원 또한 <math>W</math>의 원소이다. 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보였으므로 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이다. <math>W\le V</math>. 가정 끝.
			<math>\therefore \forall x\in W(-x\in W)</math>; <math>W</math>의 임의의 원소는 그 역원 또한 <math>W</math>의 원소이다. 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보였으므로 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이다. <math>W\le V</math>. '''가정 끝'''.

2022년 3월 12일 (토) 08:13에 Joongwon님의 편집

2022-03-12T08:13:27Z

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14번째 줄:		14번째 줄:
	* <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합		* <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합

	<math>~~\emptyset\ne W\subset V \Rightarrow\left(~~W\le V\Leftrightarrow \begin{align}		<math>W\le V\Leftrightarrow \begin{align}
	\forall x,y\in W(x+y\in W)\\		\forall x,y\in W(x+y\in W)\\
	\forall x\in W,a\in F(ax \in W)		\forall x\in W,a\in F(ax \in W)
	\end{align}~~\right)~~</math>		\end{align}</math>

	=== 오른쪽으로의 증명 ===		=== 오른쪽으로의 증명 ===
25번째 줄:		25번째 줄:

	=== 왼쪽으로의 증명 ===		=== 왼쪽으로의 증명 ===
	~~가정: <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.~~

	<math>V</math>가 ~~<math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에~~ 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙\|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙\|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙\|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙\|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙\|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신\|1배는 자기 자신]]이다.		* 가정: <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.

	이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다.		<math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙\|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙\|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙\|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙\|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙\|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신\|1배는 자기 자신]]이다. 이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다.

	<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math>		<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math>
			** 존재 예화: <math>x \in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다\|0을 곱하면 0이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

			<math>0=0x\in W</math>

			<math>\therefore 0\in W</math>. 존재 예화 끝.
			* 따라서 <math>W</math>가 항등원을 원소로 갖는다.
			** 가정: <math>x\in W</math> 어떤 벡터에 [[벡터 공간/역원과 상수곱\|-1을 곱하면 역원이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

			<math>-x=(-1)x\in W</math>

			<math>\therefore -x\in W</math>. 가정 끝.
			* <math>\therefore \forall x\in W(-x\in W)</math>; <math>W</math>의 임의의 원소는 그 역원 또한 <math>W</math>의 원소이다. 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보였으므로 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이다. <math>W\le V</math>. 가정 끝.

2022년 3월 12일 (토) 07:56에 Joongwon님의 편집

2022-03-12T07:56:26Z

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 어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.
-* <math>F</math>: 체
+* <math>F</math>: 임의의 체
-* <math>V</math>: <math>F</math>-벡터 공간
+* <math>V</math>: 임의의 <math>F</math>-벡터 공간
 * <math>W</math>: 임의의 집합
 * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
-* ss(W, V): W가 V의 부분 공간
+* <math>W\le V</math>: W가 V의 부분 공간
-<math>\text{ss}(W,V)\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>
+<math>W\le V\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>

Joongwon: 새 문서: 어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다. * $F$ : 체 * $V$ : $F$ -벡터 공간 * $W$ : 임의의 집합 * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 * ss(W, V): W가 V의 부분 공간 $\text{ss}(W,V)\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V$

2022-03-12T07:41:14Z

새 문서: 어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다. * <math>F</math>: 체 * <math>V</math>: <math>F</math>-벡터 공간 * <math>W</math>: 임의의 집합 * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 * ss(W, V): W가 V의 부분 공간 <math>\text{ss}(W,V)\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>

새 문서

어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.

* <math>F</math>: 체
* <math>V</math>: <math>F</math>-벡터 공간
* <math>W</math>: 임의의 집합
* vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
* ss(W, V): W가 V의 부분 공간

<math>\text{ss}(W,V)\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>