부분 공간 편집하기

어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.

* <math>F</math>: 임의의 체
* <math>V</math>: 임의의 <math>F</math>-벡터 공간
* <math>W</math>: 임의의 집합
* vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
* <math>W\le V</math>: W가 V의 부분 공간

<math>W\le V\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>

== 판별법 ==
어떤 공집합이 아닌 부분 집합이 부분 공간임을 판정하기 위해서는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다.

* <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합

<math>W\le V\Leftrightarrow \begin{align}
\forall x,y\in W(x+y\in W)\\
\forall x\in W,a\in F(ax \in W)
\end{align}</math>

=== 오른쪽으로의 증명 ===
가정: <math>W\le V</math>

부분 공간의 정의에 의해 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이고, [[벡터 공간]]의 정의에 의해 <math>W</math>는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. 가정 끝.

=== 왼쪽으로의 증명 ===

* 가정: <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.

<math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신|1배는 자기 자신]]이다.  이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다.

<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math>
** 존재 예화: <math>x \in W</math>  어떤 벡터에 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다|0을 곱하면 0이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

<math>0=0x\in W</math>

<math>\therefore 0\in W</math>. 존재 예화 끝.
* 따라서 <math>W</math>가 항등원을 원소로 갖는다.
** 가정: <math>x\in W</math>  어떤 벡터에 [[벡터 공간/역원과 상수곱|-1을 곱하면 역원이고]] 가정에 의해 <math>W</math>는 상수배에 대해 닫혀있다.

<math>-x=(-1)x\in W</math>

<math>\therefore -x\in W</math>. 가정 끝.
* <math>\therefore \forall x\in W(-x\in W)</math>; <math>W</math>의 임의의 원소는 그 역원 또한 <math>W</math>의 원소이다.  항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보였으므로 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이다. <math>W\le V</math>. 가정 끝.