벡터 공간 편집하기

벡터 공간은 덧셈과 상수배가 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

== 정의 ==
체 <math>F</math>, 집합 <math>V</math>와 덧셈 <math>V+V\rightarrow V</math>, 상수배 <math>F\cdot V\rightarrow V</math>에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 <math>V</math>를 <math>F</math>-벡터 공간으로 정의한다.

=== 덧셈의 교환 법칙 ===
더해지는 두 벡터의 자리를 바꾸어도 그 값은 같다.

<math>\forall x,y\in V(x+y=y+x)</math>

=== 덧셈의 결합 법칙 ===
덧셈의 순서를 바꾸어도 그 값은 같다.

<math>\forall x,y,z \in V ((x+y)+z=x+(y+z))</math>

=== 항등원의 존재 ===
벡터 공간에는 [[벡터 공간/항등원|항등원]]이 존재한다.

<math>\exist x \in V(\forall y \in V(y+x=y))</math>

=== 역원의 존재 ===
벡터 공간의 모든 원소에는 [[벡터 공간/역원|역원]]이 존재한다.

* <math>0</math>: V의 항등원

<math>\forall x \in V(\exist y \in V(x+y=0))</math>

=== 1배는 자기자신 ===
임의의 벡터에 1을 상수배한 것은 자기 자신과 같다.

<math>\forall x \in V(1 x=x)</math>

=== 상수배의 결합 법칙 ===
상수배를 두 번 하는 것은 두 수의 곱만큼 상수배하는 것과 같다.

<math>\forall x \in V,a,b\in F (a(bx)=(ab)x)</math>

=== 상수의 분배 법칙 ===
상수의 합만큼 상수배한 것은 각각의 상수만큼 상수배한 뒤 더한 것과 같다.

<math>\forall x \in V, a,b\in F((a+b)x=ax+bx)</math>

=== 벡터의 분배 법칙 ===
벡터의 합을 상수배한 것은 각각 상수배한 것을 더한 것과 같다.

<math>\forall x,y \in V , a\in F(a(x+y)=ax+ay)</math>

== 예 ==
아래 집합들은 모두 벡터 공간이다.

* <math>\{\mathbf{0}\}</math>: <math>\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},a\mathbf{0}=\mathbf{0}</math>
* <math>\R^n</math>
* <math>F^n</math>
* <math>\{(a,b,0)| a,b\in F\}</math>
* <math>M_{m\times n}(F):=\{(a_{ij})|a_{ij}\in F\}</math>
* <math>\Delta_{n\times n}(F):=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} \\ & \ddots \\ 0 & & a_{nn}   \end{pmatrix} | a_{ij}\in F \right\}</math>
* <math>\mathcal{F}(S,F):=\{f:S\rightarrow F\}</math>
* 미분가능함수, n급 함수, ∞급 함수
* 다항식
* n차 이하 다항식
* 수열 <math>\{(a_n)|a_n\in F,n=1,2,3,\dots\}</math>

[[분류:선형대수학]]
[[분류:정의]]