벡터 공간/역원과 상수곱 - 편집 역사

Joongwon: 새 문서: 벡터 공간에서 역원 기호는 상수곱처럼 작용한다. * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 $\forall V,F\left(\text{vsp}(V,F)\rightarrow \begin{align} \forall x\in V&((-1)x=-x)\\ \forall x\in V,t\in F&((-t)x=-(tx)=t(-x)) \end{align}\right)$ == 증명 == === -1을 곱하면 역원 === 벡터 공간의 정의로부터 1배, 분배 법칙을 적용한 뒤 0을 곱하면 항등원이다.
2022-03-12T06:51:40Z

새 문서: 벡터 공간에서 역원 기호는 상수곱처럼 작용한다. * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 <math>\forall V,F\left(\text{vsp}(V,F)\rightarrow \begin{align} \forall x\in V&((-1)x=-x)\\ \forall x\in V,t\in F&((-t)x=-(tx)=t(-x)) \end{align}\right)</math> == 증명 == === -1을 곱하면 역원 === 벡터 공간의 정의로부터 1배, 분배 법칙을 적용한 뒤 0을 곱하면 항등원이다. <math...

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벡터 공간에서 역원 기호는 상수곱처럼 작용한다.

* vsp(V, F): V가 F-벡터 공간

<math>\forall V,F\left(\text{vsp}(V,F)\rightarrow \begin{align}
\forall x\in V&((-1)x=-x)\\
\forall x\in V,t\in F&((-t)x=-(tx)=t(-x))
\end{align}\right)</math>

== 증명 ==

=== -1을 곱하면 역원 ===
[[벡터 공간#정의|벡터 공간의 정의]]로부터 1배, 분배 법칙을 적용한 뒤 [[벡터 공간/0을 곱하면 0이다|0을 곱하면 항등원]]이다.

<math>\begin{align}
&x+(-1)x\\=&1x+(-1)x\\=&(1+(-1))x\\=&0x\\=&0
\end{align}</math>

따라서 <math>(-1)x</math>는 <math>x</math>의 [[벡터 공간#정의|역원]]이다: <math>(-1)x=-x</math>

=== 역원의 결합 법칙 ===
[[벡터 공간#정의|상수곱의 결합 법칙]]을 적용한 뒤 [[벡터 공간/역원과 상수곱#-1을 곱하면 역원|-1을 곱하면 역원]]이다.

<math>(-t)x=((-1)\cdot t)x=(-1)\cdot(tx)=-(tx)</math>

위 식과 마찬가지로 [[벡터 공간#정의|상수곱의 결합 법칙]]을 적용한 뒤 [[벡터 공간/역원과 상수곱#-1을 곱하면 역원|-1을 곱하면 역원]]이다.

<math>(-t)x=(t\cdot (-1))x=t((-1)\cdot x)t(-x)</math>