해석개론/실수의 성질과 수열의 극한/실수의 연산과 순서

1. 실수의 성질과 수열의 극한

1.1. 실수의 연산과 순서

함수를 알아보기에 앞서, 실수가 무엇인지를 알아볼 것이다. 극한에 대한 여러 성질들이 실수의 기본 성질로부터 나오기 때문이다. 실수에 대해 생각할 수 있는 가장 기본적인 성질은 사칙연산과 대소 비교가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 실수의 사칙연산을 추상화한 구조인 '체'와 대소 비교가 가능하다는 점, 즉 순서가 있다는 점을 추상화한 '순서체'에 대해 알아보자.

체

체는 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음의 9가지 성질을 만족한다. (체1) ~ (체4)는 덧셈에 관한 성질이고, (체5) ~ (체8)은 곱셈에 관한 성질이다. (체9)는 덧셈과 곱셈을 연결하는 성질이다.

집합 $F$와 덧셈 ($+:F\times F\rightarrow F$) 및 곱셈($\cdot :F\times F\rightarrow F$)이 체라면, 다음 성질들을 만족한다.

(체1) $\forall a,b,c\in F:\quad \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$