임의의 F-벡터 공간 V의 항등원은 유일하다.
∀ V , F ( vps ( V , F ) → ∃ 1 x ∈ V ( zero ( V , x ) ) ) {\displaystyle \forall V,F({\text{vps}}(V,F)\rightarrow \exists _{1}x\in V({\text{zero}}(V,x)))}
가정: x , y {\displaystyle x,y} 가 V의 항등원.
교환 법칙과 항등원의 정의로부터 다음 식을 얻을 수 있다.
x + y = x = y + x = y {\textstyle {\begin{aligned}&x+y=x\\=&y+x=y\end{aligned}}}
∴ x = y {\displaystyle \therefore x=y} ; 가정 끝.
따라서 항등원은 유일하다.
벡터 공간의 항등원은 기호 0 {\displaystyle 0} 으로 나타낸다.
가 V의 항등원.
; 가정 끝.
으로 나타낸다.