벡터 공간

벡터 공간은 덧셈과 상수곱이 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

체 F, 집합 V와 덧셈 $V+V\rightarrow V$, 상수곱 $F\cdot V\rightarrow V$에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 V를 벡터 공간으로 정의한다.

1. $\forall x,y\in V(x+y=y+x)$; 덧셈의 교환법칙
2. $\forall x,y,z\in V((x+y)+z=x+(y+z))$; 덧셈의 결합법칙
3. $\exists \mathbf {0} \in V(\forall x\in V(x+\mathbf {0} =x))$; 항등원의 존재
4. $\forall x\in V(\exists y\in V(x+y=\mathbf {0} ))$; 역원의 존재
5. $\forall x\in V(1\cdot x=x)$; 1배는 자기자신
6. $\forall x\in V,a,b\in F(a(bx)=(ab)x)$; 상수곱의 결합법칙
7. $\forall x\in V,a,b\in F((a+b)x=ax+bx)$; 분배법칙1
8. $\forall x,y\in V,a\in F(a(x+y)=ax+ay)$; 분배법칙2