벡터 공간

벡터 공간은 덧셈과 상수배가 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

정의

체 $F$, 집합 $V$와 덧셈 $V+V\rightarrow V$, 상수배 $F\cdot V\rightarrow V$에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 $V$를 $F$-벡터 공간으로 정의한다.

덧셈의 교환 법칙

더해지는 두 벡터의 자리를 바꾸어도 그 값은 같다.

$\forall x,y\in V(x+y=y+x)$

덧셈의 결합 법칙

덧셈의 순서를 바꾸어도 그 값은 같다.

$\forall x,y,z\in V((x+y)+z=x+(y+z))$

항등원의 존재

벡터 공간에는 항등원이 존재한다.

$\exists x\in V(\forall y\in V(y+x=y))$

역원의 존재

벡터 공간의 모든 원소에는 역원이 존재한다.

• $0$: V의 항등원

$\forall x\in V(\exists y\in V(x+y=0))$

1배는 자기자신

임의의 벡터에 1을 상수배한 것은 자기 자신과 같다.

$\forall x\in V(1x=x)$

상수배의 결합 법칙

상수배를 두 번 하는 것은 두 수의 곱만큼 상수배하는 것과 같다.

$\forall x\in V,a,b\in F(a(bx)=(ab)x)$

상수의 분배 법칙

상수의 합만큼 상수배한 것은 각각의 상수만큼 상수배한 뒤 더한 것과 같다.

$\forall x\in V,a,b\in F((a+b)x=ax+bx)$

벡터의 분배 법칙

벡터의 합을 상수배한 것은 각각 상수배한 것을 더한 것과 같다.

$\forall x,y\in V,a\in F(a(x+y)=ax+ay)$

예

아래 집합들은 모두 벡터 공간이다.

• $\{\mathbf {0} \}$: $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} ,a\mathbf {0} =\mathbf {0}$
• $\mathbb {R} ^{n}$
• $F^{n}$
• $\{(a,b,0)|a,b\in F\}$
• $M_{m\times n}(F):=\{(a_{ij})|a_{ij}\in F\}$
• $\Delta _{n\times n}(F):=\left\{{\begin{pmatrix}a_{11}\\&\ddots \\0&&a_{nn}\end{pmatrix}}|a_{ij}\in F\right\}$
• ${\mathcal {F}}(S,F):=\{f:S\rightarrow F\}$
• 미분가능함수, n급 함수, ∞급 함수
• 다항식
• n차 이하 다항식
• 수열 $\{(a_{n})|a_{n}\in F,n=1,2,3,\dots \}$