임의의 F-벡터 공간 V에 속한 임의의 벡터 x의 덧셈의 역원은 유일하다.*vps(V, F): V가 F-벡터 공간이다. ∀ V , F ( vps ( V , F ) → ∀ x ∈ V ( ∃ 1 y ∈ V ( x + y = 0 ) ) ) {\displaystyle \forall V,F({\text{vps}}(V,F)\rightarrow \forall x\in V(\exists _{1}y\in V(x+y=0)))}
가정: y, z가 x의 역원.
결합 법칙과 역원의 정의, 항등원의 정의로부터 다음 식을 얻는다.
y + ( x + z ) = y + 0 = y = ( y + x ) + z = 0 + z = z {\displaystyle {\begin{aligned}&y+(x+z)=y+0=y\\=&(y+x)+z=0+z=z\end{aligned}}}
∴ y = z {\displaystyle \therefore y=z} ; 가정 끝.
따라서 x의 역원은 유일하다.
x {\displaystyle x} 의 역원은 기호 − x {\displaystyle -x} 로 나타낸다.
; 가정 끝.
의 역원은 기호 
로 나타낸다.