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(새 문서: 어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다. * <math>F</math>: 체 * <math>V</math>: <math>F</math>-벡터 공간 * <math>W</math>: 임의의 집합 * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 * ss(W, V): W가 V의 부분 공간 <math>\text{ss}(W,V)\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math>) |
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어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다. | 어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다. | ||
* <math>F</math>: 체 | * <math>F</math>: 임의의 체 | ||
* <math>V</math>: <math>F</math>-벡터 공간 | * <math>V</math>: 임의의 <math>F</math>-벡터 공간 | ||
* <math>W</math>: 임의의 집합 | * <math>W</math>: 임의의 집합 | ||
* vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 | * vsp(V, F): V가 F-벡터 공간 | ||
* | * <math>W\le V</math>: W가 V의 부분 공간 | ||
<math>\ | <math>W\le V\overset{def}\Longleftrightarrow \text{vsp}(W,F)\wedge W\subset V</math> | ||
== 판별법 == | |||
어떤 공집합이 아닌 부분 집합이 부분 공간임을 판정하기 위해서는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다. | |||
* <math>\emptyset\ne W \subset V</math>: 임의의 집합 | |||
<math>\emptyset\ne W\subset V \Rightarrow\left(W\le V\Leftrightarrow \begin{align} | |||
\forall x,y\in W(x+y\in W)\\ | |||
\forall x\in W,a\in F(ax \in W) | |||
\end{align}\right)</math> | |||
=== 오른쪽으로의 증명 === | |||
가정: <math>W\le V</math> | |||
부분 공간의 정의에 의해 <math>W</math>는 <math>F</math>-벡터 공간이고, [[벡터 공간]]의 정의에 의해 <math>W</math>는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. 가정 끝. | |||
=== 왼쪽으로의 증명 === | |||
가정: <math>W</math>가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. | |||
<math>V</math>가 <math>F</math>-벡터 공간이므로, <math>V</math>의 모든 원소에 대해 덧셈의 [[벡터 공간#덧셈의 교환 법칙|교환]] 및 [[벡터 공간#덧셈의 결합 법칙|결합 법칙]], [[벡터 공간#상수배의 결합 법칙|상수배의 결합 법칙]], [[벡터 공간#상수의 분배 법칙|두 가지]] [[벡터 공간#벡터의 분배 법칙|분배 법칙]]이 성립하며 [[벡터 공간#1배는 자기자신|1배는 자기 자신]]이다. | |||
이제 항등원과 역원이 <math>W</math>의 원소임을 보이면 충분하다. | |||
<math>W\ne\emptyset\rightarrow \exist x\in W</math> | |||
2022년 3월 12일 (토) 16:56 판
어떤 벡터 공간의 부분 공간이란, 그 벡터 공간에 포함되면서 스스로도 벡터 공간인 집합을 말한다.
- : 임의의 체
- : 임의의 -벡터 공간
- : 임의의 집합
- vsp(V, F): V가 F-벡터 공간
- : W가 V의 부분 공간
판별법
어떤 공집합이 아닌 부분 집합이 부분 공간임을 판정하기 위해서는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다.
- : 임의의 집합
오른쪽으로의 증명
가정:
부분 공간의 정의에 의해 는 -벡터 공간이고, 벡터 공간의 정의에 의해 는 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다. 가정 끝.
왼쪽으로의 증명
가정: 가 덧셈과 상수배에 대해 닫혀있다.
가 -벡터 공간이므로, 의 모든 원소에 대해 덧셈의 교환 및 결합 법칙, 상수배의 결합 법칙, 두 가지 분배 법칙이 성립하며 1배는 자기 자신이다.
이제 항등원과 역원이 의 원소임을 보이면 충분하다.
