"벡터 공간"의 두 판 사이의 차이

2022년 3월 12일 (토) 15:36 판

벡터 공간은 덧셈과 상수곱이 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

정의

체 F, 집합 V와 덧셈 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle V+V\rightarrow V} , 상수곱 $F\cdot V\rightarrow V$ 에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 V를 벡터 공간으로 정의한다.

$\forall x,y\in V(x+y=y+x)$ ; 덧셈의 교환법칙
$\forall x,y,z\in V((x+y)+z=x+(y+z))$ ; 덧셈의 결합법칙
$\exists \mathbf {0} \in V(\forall x\in V(x+\mathbf {0} =x))$ ; 항등원의 존재. 이 성질을 만족하는 $0$ 을 항등원으로 정의한다.
$\forall x\in V(\exists y\in V(x+y=\mathbf {0} ))$ ; 역원의 존재. 이 성질을 만족하는 $y$ 를 $x$ 의 역원으로 정의한다.
$\forall x\in V(1\cdot x=x)$ ; 1배는 자기자신
$\forall x\in V,a,b\in F(a(bx)=(ab)x)$ ; 상수곱의 결합법칙
$\forall x\in V,a,b\in F((a+b)x=ax+bx)$ ; 분배법칙1
$\forall x,y\in V,a\in F(a(x+y)=ax+ay)$ ; 분배법칙2

예

아래 집합들은 모두 벡터 공간이다.

$\{\mathbf {0} \}$ : $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} ,a\mathbf {0} =\mathbf {0}$
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \R^n}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle F^n}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{(a,b,0)| a,b\in F\}}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle M_{m\times n}(F):=\{(a_{ij})|a_{ij}\in F\}}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \Delta_{n\times n}(F):=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} \\ & \ddots \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix} | a_{ij}\in F \right\}}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathcal{F}(S,F):=\{f:S\rightarrow F\}}
미분가능함수, n급 함수, ∞급 함수
다항식
n차 이하 다항식
수열 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \{(a_n)|a_n\in F,n=1,2,3,\dots\}}

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 벡터 공간은 덧셈과 상수곱이 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.
+== 정의 ==
 체 F, 집합 V와 덧셈 <math>V+V\rightarrow V</math>, 상수곱 <math>F\cdot V\rightarrow V</math>에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 V를 벡터 공간으로 정의한다.
 # <math>\forall x,y\in V(x+y=y+x)</math>; 덧셈의 교환법칙
 # <math>\forall x,y,z \in V ((x+y)+z=x+(y+z))</math>; 덧셈의 결합법칙
-# <math>\exist \mathbf 0 \in V(\forall x \in V (x+\mathbf 0 = x))</math>; 항등원의 존재
+# <math>\exist \mathbf 0 \in V(\forall x \in V (x+\mathbf 0 = x))</math>; 항등원의 존재. 이 성질을 만족하는 <math>0</math>을 항등원으로 정의한다.
-# <math>\forall x \in V (\exist y \in V(x+y=\mathbf 0))</math>; 역원의 존재
+# <math>\forall x \in V (\exist y \in V(x+y=\mathbf 0))</math>; 역원의 존재. 이 성질을 만족하는 <math>y</math>를 <math>x</math>의 역원으로 정의한다.
 # <math>\forall x \in V (1\cdot x=x)</math>; 1배는 자기자신
 # <math>\forall x \in V,a,b\in F (a(bx)=(ab)x)</math>; 상수곱의 결합법칙

"벡터 공간"의 두 판 사이의 차이

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