벡터 공간

벡터 공간은 덧셈과 상수곱이 정의되어 몇 가지 성질을 만족하는 집합으로 정의된다.

정의

체 F, 집합 V와 덧셈 $V+V\rightarrow V$, 상수곱 $F\cdot V\rightarrow V$에 대해, 다음 성질들을 만족하는 집합 V를 벡터 공간으로 정의한다.

1. $\forall x,y\in V(x+y=y+x)$; 덧셈의 교환법칙
2. $\forall x,y,z\in V((x+y)+z=x+(y+z))$; 덧셈의 결합법칙
3. $\exists \mathbf {0} \in V(\forall x\in V(x+\mathbf {0} =x))$; 항등원의 존재. 이 성질을 만족하는 $0$을 항등원으로 정의한다.
4. $\forall x\in V(\exists y\in V(x+y=\mathbf {0} ))$; 역원의 존재. 이 성질을 만족하는 $y$를 $x$의 역원으로 정의한다.
5. $\forall x\in V(1\cdot x=x)$; 1배는 자기자신
6. $\forall x\in V,a,b\in F(a(bx)=(ab)x)$; 상수곱의 결합법칙
7. $\forall x\in V,a,b\in F((a+b)x=ax+bx)$; 분배법칙1
8. $\forall x,y\in V,a\in F(a(x+y)=ax+ay)$; 분배법칙2

예

아래 집합들은 모두 벡터 공간이다.

• $\{\mathbf {0} \}$: $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} ,a\mathbf {0} =\mathbf {0}$
• $\mathbb {R} ^{n}$
• $F^{n}$
• $\{(a,b,0)|a,b\in F\}$
• $M_{m\times n}(F):=\{(a_{ij})|a_{ij}\in F\}$
• $\Delta _{n\times n}(F):=\left\{{\begin{pmatrix}a_{11}\\&\ddots \\0&&a_{nn}\end{pmatrix}}|a_{ij}\in F\right\}$
• ${\mathcal {F}}(S,F):=\{f:S\rightarrow F\}$
• 미분가능함수, n급 함수, ∞급 함수
• 다항식
• n차 이하 다항식
• 수열 $\{(a_{n})|a_{n}\in F,n=1,2,3,\dots \}$