벡터 공간/항등원은 유일하다

임의의 F-벡터 공간 V의 항등원은 유일하다.

• vsp(V, F): V가 F-벡터 공간이다.
• zero(V, x): x가 V의 항등원이다.

$\forall V,F({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow \exists _{1}x\in V({\text{zero}}(V,x)))$

증명

가정: $x,y$가 V의 항등원.

교환 법칙과 항등원의 정의로부터 다음 식을 얻을 수 있다.

${\textstyle {\begin{aligned}&x+y=x\\=&y+x=y\end{aligned}}}$

$\therefore x=y$; 가정 끝.

따라서 항등원은 유일하다.

기호

벡터 공간의 항등원은 기호 $0$으로 나타낸다.