해석개론/실수의 성질과 수열의 극한/실수의 연산과 순서

1. 실수의 성질과 수열의 극한

1.1. 실수의 연산과 순서

함수를 알아보기에 앞서, 실수가 무엇인지를 알아볼 것이다. 극한에 대한 여러 성질들이 실수의 기본 성질로부터 나오기 때문이다. 실수에 대해 생각할 수 있는 가장 기본적인 성질은 사칙연산과 대소 비교가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 실수의 사칙연산을 추상화한 구조인 '체'와 대소 비교가 가능하다는 점, 즉 순서가 있다는 점을 추상화한 '순서체'에 대해 알아보자.

체

체는 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음의 9가지 성질을 만족한다. (체1) ~ (체4)는 덧셈에 관한 성질이고, (체5) ~ (체8)은 곱셈에 관한 성질이다. (체9)는 덧셈과 곱셈을 연결하는 성질이다.

집합 $F$와 덧셈 ($+:F\times F\rightarrow F$) 및 곱셈($\cdot :F\times F\rightarrow F$)이 체라면, 다음 성질들을 만족한다. (단 곱셈 $a\cdot b$는 $ab$로 표기하기도 한다.)

• (체1) $\forall a,b,c\in F:\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$
• (체4) $\forall a,b\in F:a+b=b+a$

덧셈의 결합법칙과 교환법칙. 이 둘이 있어야 2, 3번이 깔끔하게 나와서 순서를 좀 바꿨다. (체1)과 (체4)를 조합하면 덧셈의 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 앞으로 순서를 바꾸는 과정이 명백하면 그 과정은 생략한다.

• (체2) $\exists e\in F\forall a\in F:a+e=a$

더해도 아무런 효과가 없는 녀석이 체에 존재한다. 특히 그런 녀석이 유일하다는 것을 보일 수 있다. 위 성질을 만족하는 녀석을 $e,e'$로 두 마리 찾았다고 가정하자.

$$e=e+e'=e'$$

두 마리를 찾으면 둘은 항상 같은 놈이다. 즉, 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하다. 그런 녀석을 덧셈의 항등원이라고 부르며, 앞으로 $0$으로 표기한다. 눈치가 빠르면 알겠지만 이는 실수 0에 대응된다.

• (체3) $\forall a\in F\exists x\in F:a+x=0$

체의 모든 원소에게는 더하면 0이 되어버리는 라이벌이 존재한다. 마찬가지로 그런 녀석도 유일하다. 위 성질을 만족하는 녀석을 $x,x'$로 두 마리 찾았다고 가정하자.

$$x=x+0=x+(a+x')=(x+a)+x'=0+x'=x'$$

따라서 위 성질을 만족하는 녀석은 체에서 유일하고, 그런 녀석을 덧셈의 역원이라고 부르며 앞으로 $-a$로 표기한다. 또 $a+(-b)$는 간단하게 $a-b$로 나타낸다. 뺄셈은 뒤의 원소의 역원을 더하는 연산인 셈이다. 실수에서 덧셈의 역원도 마이너스 부호를 붙여 찾을 수 있다.

• (체5) $\forall a,b,c\in F:a(bc)=(ab)c$
• (체8) $\forall a,b\in Fab=ba$

곱셈의 결합법칙과 교환법칙. 덧셈처럼 곱셈도 순서를 마음대로 바꿀 수 있다. 그 과정은 명백한 경우 생략한다.

• (체6) $\exists e\in F:e\neq 0,(\forall a\in F:ae=a)$

곱셈에도 덧셈처럼 항등원이 존재한다. 비슷한 논리로 이 녀석도 유일하다는 것을 보일 수 있다. 그런 녀석을 곱셈의 항등원이라고 부르며, 앞으로 $1$로 표기한다. 역시 실수 1에 대응된다. 한편 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 다르다는 것이 공리로써 보장되는 것도 주목할만한 점이다.

• (체7) $\forall a\in F\setminus \left\{0\right\}\exists x\in F:ax=1$

체의 원소에게는 곱해서 1이 되어버리는 다른 종류의 라이벌도 존재한다. 다만 0은 라이벌이 없다. 천하무적이라고 볼 수 있다. (체3)에서와 비슷하게 그런 라이벌이 유일함을 보일 수 있다. 그런 녀석을 곱셈의 역원이라고 부르며 앞으로 $a^{-1}$로 표기한다. 나눗셈이란 바로 이 역원을 곱하는 연산이라고 볼 수 있다. 실수에서는 역원을 $a^{-1}=1/a$로 찾을 수 있다. 0의 역원이 없다는 말에는 0으로 나눌 수 없다는 심오한 뜻이 담겨있다. 사칙연산을 정의할 때에 불가피한 절대적 성질이라는 것이다.

• (체9) $\forall a,b,c\in F:a(b+c)=ab+ac$

분배법칙. 별로 할 얘기는 없다.

예시

어떤 집합이 체라는 것은 0으로 나누기를 제외한 사칙연산이 자유롭다는 뜻이다. 그런 집합은 실수 뿐만이 아니다. 유리수와 복소수도 대표적인 체이다. 또 하나의 특이한 체는 다음과 같이 정의된다.

$${\begin{array}{c}\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}\\0+0=0&0+1=1&1+0=1&1+1=0\\0\cdot 0=0&0\cdot 1=0&1\cdot 0=0&1\cdot 1=1\end{array}}$$

이처럼 원소가 유한한 체를 유한체라고 한다. 이들이 체의 성질을 만족하는지는 하나하나 확인해보면 알 수 있다.

성질

아래는 체에서 성립하는 몇가지 성질들이다. 임의의 $a,b,c\in F$에 대해

• 명제 1.1.1.(가) $-(-a)=a,a\neq 0\Rightarrow (a^{-1})^{-1}=a$

역원의 역원은 자기자신이다. $b$가 $a$의 역원이라는 것의 정의는 $a+b=0$이다. 이 식에서 바로 $a$가 $b$의 역원임을 알 수 있다.

• 명제 1.1.1.(나) $(a+b=a+c\Rightarrow b=c),(a\neq 0,ab=ac\Rightarrow b=c)$

등식의 양변에 같은 수가 더해지거나 곱해진 경우 지울 수 있다. $-a$을 더하거나 $a^{-1}$을 곱해보면 쉽게 확인할 수 있다.

• 명제 1.1.1.(다) $ab=0\Leftrightarrow a=0\ \mathrm {or} \ b=0$

곱해서 0이면 둘 중 하나는 0이다. 반대로 어떤 수에 0을 곱하면 0이 된다. 먼저 왼쪽으로 증명해보자. $a\cdot 0+a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0=a\cdot 0+0$이므로, 1.1.1.(나)를 적용하면 $a\cdot 0=0$이다. 오른쪽으로의 증명은 귀류법을 사용한다. $ab=0,a\neq 0,b\neq 0$이라고 가정하면 $0=0\cdot b^{-1}a^{-1}=abb^{-1}a^{-1}=1$로 모순이다.

• 명제 1.1.1.(라) $(-a)b=-(ab)=a(-b)$

마이너스 부호를 곱셈처럼 쓸 수 있음을 알려준다. $ab$를 더해 분배법칙을 적용해보면 모두 0이 되어 $ab$의 역원임을 확인할 수 있다. 어떤 원소에 대한 곱셈의 역원은 유일하므로 위 등식의 세 변은 모두 같음을 확인할 수 있다.

순서체

일종의 순서를 부여할 수 있는 체를 '순서체'라고 한다. 실수도 대소 비교가 가능하므로 순서체의 일종이다.

우선 집합 $S\subset F$에 대해 집합 $-S=\left\{-a:a\in S\right\}$를 정의한다. 간단히 말해 $S$의 원소의 역원들을 모아놓은 것이다.

어떤 체 $F$가 순서체라는 것은 어떤 $P\subset F$가 존재하여 다음 성질들을 만족한다는 것이다. 특히 그런 $P$의 원소를 양수라고 한다.

• (순1) $\forall a,b\in P\Rightarrow a+b,ab\in P$

$P$는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다. 양수를 더하거나 곱하면 다시 양수가 됨을 생각하면 편하다.

• (순2) $F=P\cup \{0\}\cup -P$
• (순3) $P,\{0\},-P$는 모두 서로소.

간단히 말해 체의 모든 원소가 양수, 0, 음수 중 하나에 속한다는 것이다.

양수 집합이 존재하면 뺄셈의 결과가 양수, 0, 음수 중 어디에 속하는지 확인하여 대소 관계를 판별할 수 있다. 이는 정확하게 대소의 정의이다.

임의의 $a,b\in F$에 대해 $a-b\in P$일 때 $a$가 $b$보다 크다고 한다. 이를 $a>b$ 또는 $b<a$로 나타낸다. 한편 $a=b\ \mathrm {or} \ a>b$는 $a\geq b$로 정의한다.

성질

순서체 $F$의 원소 $a,b,c$에 대해 다음 성질들이 성립한다.

• 명제 1.1.2.(가) $a\geq b,a\leq b\Rightarrow a=b$

$${\begin{array}{rcl}a\geq b&\Rightarrow &a-b\in P\ \mathrm {or} \ a=b\\a-b\in P&\rightarrow &b-a=-(a-b)\in -P\\&\rightarrow &b-a\notin P,a\neq b\\&\rightarrow &\mathrm {not} \ a\leq b,\mathrm {contrandiction} \\\therefore a=b\end{array}}$$

• 명제 1.1.2(나) $a\leq b,b\leq c\Rightarrow a\leq c$

집합 $P\cup \{0\}$이 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있음은 모든 경우를 나누어보면 쉽게 확인할 수 있다. 이를 활용하면 위 명제를 증명할 수 있다. $b-a,c-b\in P\cup \{0\}\Rightarrow (b-a)+(c-b)=c-a\in P\cup \{0\},\therefore a\leq c$.

• 명제 1.1.3(다) $a+b<a+c\Leftrightarrow b<c$

양변을 빼보면 같은 값이다. Q.E.D.

• 명제 1.1.3(라) $a>0,b<c\Rightarrow ab<ac$

$c-b,a-0=a\in P$이므로 둘을 곱한 값도 양수이다. (체9)와 명제 1.1.1(라)를 쓰면 뺄셈 꼴이 나온다.

• 명제 1.1.3(마) $a<0,b<c\Rightarrow ab>ac$

$a<0$에 $-a$를 더하면 명제 1.1.3(다)에 의해 $-a>0$이다. 그러면 명제 1.1.3(라)에 의해 $-ab<-ac$이고 다시 양변에 $ab+ac$를 더하면 명제 1.1.3(다)에 의해 $ab>ac$를 얻는다.

• 명제 1.1.3(바) $a^{2}\geq 0,1>0$

$a\in P$인 경우 (순1)에 의해 $a\cdot a=a^{2}\in P\subset P\cup \{0\}$이다. 마찬가지로 $a=0$인 경우에도 명제 1.1.1(다)에 의해 $a\cdot a=0$으로 위 명제가 성립한다. $a\in -P$인 경우 곧 $-a\in P$이므로 $a^{2}=(-a)(-a)\geq 0$이다. (순2)에 의해 모든 $a$에 대해 위 명제가 성립한다. 특히 (체6)에 의해 $1\cdot 1=1\neq 0$이므로 $1>0$이다.

• 명제 1.1.3(사) $0<a<b\Rightarrow 0<b^{-1}<a^{-1}$

우선 양수의 역원은 양수임을 보인다. 만일 양수 $a$의 역원이 음수라면, 명제 1.1.3(라), 명제 1.1.1(다)에 의해 $a\cdot a^{-1}=1<0=a\cdot 0$이다. 이는 명제 1.1.3(바)와 모순이므로 양수의 역원은 음수가 아니다. 또 만약 역원이 0이라면 명제 1.1.1(다)에 의해 $a\cdot a^{-1}=a\cdot 0=0$로 0이 역원이라는 데에 모순이다. 따라서 양수의 역원은 양수이다.

명제 1.1.3(나)와 (순3)에 의해 $a,b\in P$이다. 앞에서 살펴보았듯 $a^{-1},b^{-1}\in P$이므로, 양변에 $a^{-1}b^{-1}$을 곱하면 (순1)과 명제 1.1.3(라)에 의해 $0<b^{-1}<a^{-1}$이다.

• 명제 1.1.3(아) $a,b>0$일 때, $a^{2}<b^{2}\Leftrightarrow a<b$

(순1)에 의해 $a+b>0$이다. 따라서 $b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)>0\Leftrightarrow b-a>0$이다.