벡터 공간/역원은 유일하다

임의의 F-벡터 공간 V에 속한 임의의 벡터 x의 덧셈의 역원은 유일하다.

• vsp(V, F): V가 F-벡터 공간이다.

$\forall V,F({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow \forall x\in V(\exists _{1}y\in V(x+y=0)))$

증명

가정: y, z가 x의 역원.

벡터 공간을 정의하는 결합 법칙과 역원의 성질, 항등원의 성질로부터 다음 식을 얻는다.

${\begin{aligned}&y+(x+z)=y+0=y\\=&(y+x)+z=0+z=z\end{aligned}}$

$\therefore y=z$; 가정 끝.

따라서 x의 역원은 유일하다.

기호

$x$의 역원은 기호 $-x$로 나타낸다.