벡터 공간/0을 곱하면 0이다

임의의 벡터를 0배 하거나, 항등원을 임의의 상수배 하면 항등원이 된다.

• vsp(V, F): V가 F-벡터 공간.

$\forall V,F\left({\text{vsp}}(V,F)\rightarrow {\begin{aligned}\forall x\in V(0x=0)\\\forall t\in F(t0=0)\end{aligned}}\right)$

증명

벡터의 0배

분배 법칙을 적용하면 다음과 같다.

$0x+0x=(0+0)x=0x$

항등원의 정의에 의해 $0x$는 항등원이다. 또, 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$0x=0$

항등원의 상수배

분배 법칙과 항등원의 정의를 적용하면 다음과 같다.

$t0+t0=t(0+0)=t0$

항등원의 정의에 의해 $t0$은 항등원이고 항등원은 유일하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$t0=0$